El siguiente es el Lema 3 en un viejo artículo de Mathew Penrose que estoy estudiando.
Suponga que 
y 
son variables aleatorias independientes y uniformemente distribuidas en la bola 
en 
dimensiones. Entonces
1.
![\lim_{d\rightarrow\infty}\textbf P[|\textbf X(d)|>3/4]=1](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bd%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Ctextbf+P%5B%7C%5Ctextbf+X%28d%29%7C%3E3%2F4%5D%3D1&bg=e6e6e6&fg=333333&s=0 "\lim_{d\rightarrow\infty}\textbf P[|\textbf X(d)|>3/4]=1")
2.
![\lim_{d\rightarrow\infty}(\sup {\textbf P[|\textbf X(d)-x|\leq1]:x\in\mathbb R^d,|x|\geq 3/4})=0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bd%5Crightarrow%5Cinfty%7D%28%5Csup+%7B%5Ctextbf+P%5B%7C%5Ctextbf+X%28d%29-x%7C%5Cleq1%5D%3Ax%5Cin%5Cmathbb+R%5Ed%2C%7Cx%7C%5Cgeq+3%2F4%7D%29%3D0&bg=e6e6e6&fg=333333&s=0 "\lim_{d\rightarrow\infty}(\sup {\textbf P[|\textbf X(d)-x|\leq1]:x\in\mathbb R^d,|x|\geq 3/4})=0")
3.
![\lim_{d\rightarrow\infty}\textbf P[|\textbf X(d)-\textbf Y(d)|\leq1]=0](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bd%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Ctextbf+P%5B%7C%5Ctextbf+X%28d%29-%5Ctextbf+Y%28d%29%7C%5Cleq1%5D%3D0&bg=e6e6e6&fg=333333&s=0 "\lim_{d\rightarrow\infty}\textbf P[|\textbf X(d)-\textbf Y(d)|\leq1]=0")
.
Prueba:
El número 1 es trivial, pero demostrémoslo aquí en aras de hacer el ejercicio completo:
![\textbf P[|\textbf X(d)|>3/4]=1-\textbf P[|\textbf X(d)|\leq3/4]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ctextbf+P%5B%7C%5Ctextbf+X%28d%29%7C%3E3%2F4%5D%3D1-%5Ctextbf+P%5B%7C%5Ctextbf+X%28d%29%7C%5Cleq3%2F4%5D&bg=e6e6e6&fg=333333&s=0 "\textbf P[|\textbf X(d)|>3/4]=1-\textbf P[|\textbf X(d)|\leq3/4]")
que tiende a 
cuando 
. Aquí 
es el volumen de la bola de radio en dimensiones.
Para demostrar el número 2, nótese que
.
Por la parte 1, es suficiente probar que 
converge a 
en probabilidad y uniformemente en 
. Escríbase en coordenadas, como 
y 
. Por simetría (la bola unitaria es igual en todas las direcciones), puede suponerse que 
es colineal a 
, luego 
tiene la misma distribución que 
y por lo tanto también la misma distribución que 
. De nuevo, por simetría, las componentes de tienen todas la misma distribución (así no sean independientes unas de otras); así que, usando el hecho de que la suma de los cuadrados de las componentes es , obtenemos que ![\textbf E[|X^1(d)|^2]\leq 1/d](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ctextbf+E%5B%7CX%5E1%28d%29%7C%5E2%5D%5Cleq+1%2Fd&bg=e6e6e6&fg=333333&s=0 "\textbf E[|X^1(d)|^2]\leq 1/d")
, de modo que 
converge a en 
y, por lo tanto, también en probabilidad.
El número 3 es consecuencia directa del número 1 y el número 2.
09/08/2011
Publicado por Daniel |
Matemáticas avanzadas |
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