¿Cuál es más probable?

En la anterior entrada interesante de este blog presentaba el famoso problema del cumpleaños, cuya respuesta puede ser un poco contraintuitiva. Hay quienes llaman a este problema del cumpleaños paradoja pero yo no lo considero así, el resultado simplemente es algo desconcertante pero no veo una situación de paradoja. En mi concepción personal –y puedo estar errado– una paradoja es una situación en la que se pueden presentar varias respuestas aparentemente verdaderas. Ya habrá tiempo para discutir algunas de ellas en este blog. En esta entrada quiero discutir otro evento donde se presenta una situación similar a la anterior:

Un mazo de 52 cartas se revuelve y las cartas se voltean una a la vez hasta cuando aparezca el primer as. ¿Es más probable que la siguiente carta después del primer as sea un as de picas o un dos de diamantes?

Aunque intuitivamente la mayoría estaríamos inclinados a pensar que es más probable el dos de bastos (al fin y al cabo, dice la intuición, el primer as en salir podría ser el de picas), vamos a mostrar que la probabilidad es la misma en los dos casos.

Lo primero que necesitamos saber es cuántos de los 52! posibles órdenes tienen al as de espadas inmediatamente después del primer as. Para esto suponga primero que la baraja que contiene todas las cartas menos el as de espadas se ordena de todas las formas posibles, entonces el total de formas distintas de organizar el mazo es 51!. Una vez se tienen cada uno de esos posibles órdenes, nótese que solo hay un lugar donde puede ir el as de espadas para satisfacer nuestro caso: debajo del primer as en la baraja. Es decir, el total de casos son 51!\times1=51!. Luego la probabilidad de que el as de espadas esté después del primer as es

\frac{51!}{52!}=\frac{1}{52}.

Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que la carta siguiente al primer as sea el dos de diamantes? Si se utiliza el argumento anterior, se llegará a la conclusión de que es exactamente la misma: \frac{1}{52}. Como en la baraja hay exactamente 52 cartas, sin contar los comodines (hay 4 pintas de 13 cartas cada una), este resultado nos dice que la probabilidad de cualquier carta después del primer as es la misma. Por ejemplo, la probabilidad de que la carta siguiente al primer as sea 4 de tréboles es igual a la probabilidad de que la primera carta extraída al azar sea el 4 de tréboles; es decir, en los dos casos la distribución de probabilidad es uniforme.

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