¿Contradicción probabilística a nivel cuántico?

Hace días –de hecho meses– tenía ganas de hacer esta entrada sobre las contradicciones a las que llevaría un experimento cuántico, la había demorado porque me daba pereza hacer el gráfico. Es un caso que vi en el libro Coupling, Stationarity and Regeneration (pp 27-32, Springer, 2000) de Hermann Thorisson, tal vez el libro mejor escrito en probabilidad avanzada que haya visto hasta ahora.

El experimento

Se quiere medir la polarización de partículas (fotones) enviadas por pares por un material (calcio). Se envía un fotón a la izquierda y el otro a la derecha; en cada dirección en que se envían los fotones se ubica un dispositivo de medición de la polarización y cada una de las mediciones se lleva a cabo cuando una partícula atraviesa el dispositivo. La polarización toma valores en el conjunto \{1,-1\} y depende del ángulo ortogonal a la dirección del movimiento.

0. Cuando los dispositivos de medición se alinean en la misma dirección, digamos 0\textdegree, la medición es la misma a ambos lados.

1. Cuando el dispositivo de la izquierda se inclina 30\textdegree  y el de la derecha se deja en 0\textdegree, las mediciones coinciden 3/4 del total de veces.

2. Cuando el dispositivo de la izquierda vuelve a 0\textdegree y el de la derecha se inclina a -30\textdegree, las medidas coinciden 3/4 del total de veces.

3. Cuando el dispositivo de la izquierda se ubica en 30\textdegree y el de la derecha en -30\textdegree, las mediciones coinciden 1/4 del total de veces.

La gráfica a continuación muestra las configuraciones anteriores: el cuadrado es el calcio, las líneas punteadas son los fotones enviados y las líneas con flechas son los dispositivos ubicados en la dirección que aparece abajo de cada uno.

La contradicción

Con base en el experimento planteado parece obvio definir el siguiente modelo: Considere un par de fotones y sea

X= “La polarización de la partícula de la izquierda en la dirección 0 grados” o, de manera equivalente,

X= “La polarización de la partícula de la derecha en la dirección 0 grados”.

Y= “La polarización de la partícula de la izquierda en la dirección 30 grados”.

Z= “La polarización de la partícula de la derecha en la dirección -30 grados”.

Al interpretar las frecuencias relativas como probabilidades, obtenemos:

\textbf P[X=Y]=\textbf P[X=Z]=3/4         (1)

y

\textbf P[Y=Z]=1/4.         (2)

Con un poco de probabilidad elemental se tiene:

\textbf P[Y=Z]

\geq \textbf P[Y=Z,X=Z]

=\textbf P[Y=X,X=Z]

 =\textbf P[Y=X]-\textbf P[Y=X,X\neq Z]

\geq\textbf P[Y=X]-\textbf P[X\neq Z]

= \textbf P[Y=X]+\textbf P[X=Z]-1.

Es decir,

\textbf P[Y=Z]\geq\textbf P[Y=X]+\textbf P[X=Z]-1.       (3)

Remplazando las ecuaciones (1) y (2) en (3), obtenemos:

1/4\geq3/4+3/4-1=2/4=1/2

O sea, 1/4\geq1/2, una contradicción.

Probabilidad en términos cuánticos

La cosa, desde el punto de vista probabilístico, se pone color de hormiga porque no hay contradicción usando la probabilidad como en la física cuántica:

\textbf P[Y=X]=\textbf P[X=Z]=(\cos30)(\cos30)=3/4,

\textbf P[Y=Z]=(\cos60)(\cos60)=1/4.

Nótese que el ángulo que se forma por las inclinaciones de los dos dispositivos es el que define el ángulo con que aquí se mide la probabilidad.

Contradicción superada al nivel de la observación

Sucede que en X, Y y Z la polarización se tomó como una propiedad intrínseca de las partículas, como si existiese simultáneamente cuando no se le está midiendo, es decir, independiente del mundo macro. ¿Qué pasa si en su lugar la definimos en términos de las observaciones (las mediciones)? En ese caso desaparece la contradicción.

Dejando de lado la configuración trivial donde los dispositivos se encuentran en posición paralela, tenemos tres configuraciones de experimentos.

Consideremos la configuración 1. Sean

X_1= “La polarización observada de la partícula a la derecha en la dirección 0 grados”,
Y_1= “La polarización observada de la partícula a la izquierda en la dirección 30 grados”.

En el experimento, además de que las mediciones son iguales 3/4 de las veces, también se registró que -1 y 1 se observan en proprociones idénticas a los dos lados. Entonces si se especifica la distribución conjunta de X_1 y Y_1 como

\textbf P[X_1=-1,Y_1=-1]=3/8

\textbf P[X_1=1,Y_1=1]=3/8

\textbf P[X_1=-1,Y_1=1]=1/8

\textbf P[X_1=1,Y_1=-1]=1/8,

dicha distribución conjunta concuerda con las frecuencias relativas puesto que

\textbf P[Y_1=-1]=\textbf P[X_1=-1, Y_1=-1]+\textbf P[X_1=1,Y_1=-1] (particionando Y_1 en X_1)

=3/8+1/8
= 1/2;

usando el mismo razonamiento,

\textbf P[X_1=-1]=\textbf P[X_1=-1,Y_1=-1]+\textbf P[X_1=-1,Y_1=1] (particionando X_1 en Y_1)

= 3/8+1/8
=1/2;

es decir, está la proporción idéntica que se acabó de mencionar. Y además, claramente,

\textbf P[X_1=Y_1]=\textbf P[X_1=-1,Y_1=-1]+\textbf P[X_1=1,Y_1=1]

= 3/8 + 3/8
= 3/4.

Ahora consideremos la configuración 2. Sean

X_2 = “La polarización observada de la partícula a la izquierda en la dirección 0 grados”,
Y_2 = “La polarización observada de la partícula a la derecha en la dirección -30 grados”.

Si X_2 y Y_2 tienen la misma distribución conjunta que X_1 y Y_1, volvemos a obtener que las probabilidades concuerdan con las frecuencias relativas:

\textbf P[Y_2=-1]=\textbf P[X_2=-1]=1/2

\textbf P[X_2=Y_2]=3/4.

Y por último, consideremos la configuración 3: Sean

Y_3 = “La polarización observada de la partícula a la izquierda en la dirección 30 grados”.
Z_3 = “La polarización observada de la partícula a la derecha en la dirección -30 grados ”.

Ahora las medidas concuerdan solo 1/4 de las veces, pero todavía se registra la misma proporción de 1 y -1 a los dos lados. Si se especifica la distribución conjunta de Y_3 y Z_3 como

\textbf P[Y_3=-1,Z_3=-1]=1/8

\textbf P[Y_3=1,Z_3=1]=1/8

\textbf P[Y_3=-1,Z_3=1]=3/8

\textbf P[Y_3=1,Z_3=-1]=3/8,

las frecuencias relativas concuerdan con las dadas:

\textbf P[Y_3=-1]=\textbf P[Z_3=-1]=1/2,

\textbf P[Y_3=Z_3]=1/4.

Luego a nivel de las observaciones se ha resuelto la situación. Es cuando asumimos que la polarización es una propiedad intrínseca de las partículas que caemos en contradicciones, cuando suponemos que la polarización es independiente de la observación.

¿Es suficiente la probabilidad en el mundo micro?

La contradicción anterior parece decirnos entonces que la polarización existe solo por la interacción con el mundo macro (al medirse). Lo anterior sugiere que la realidad no existe más allá de las observaciones si es que el problema no radica en la probabilidad como la conocemos.

Y es en esa condición final donde surgen las escuelas de pensamiento: Hay quienes dicen que la probabilidad clásica, la de los axiomas de Kolmogorov, se queda corta. Sugieren que debería remplazarse por la probabilidad cuántica, de axiomas más generales que los de Kolmogorov. Algo así como la superposición de la relatividad de Einstein sobre la mecánica de Newton. Como vimos, al aplicar la probabilidad cuántica, no hay contradicciones si se supone que la polarización es una propiedad inherente a las partículas, independiente del mundo macro.

Pero, analiza Thorisson, de los axiomas de la probabilidad, solo la aditividad contable sería el axioma a cuestionar (el tercer axioma según el enlace); sin embargo, como solo hay finitos posibles resultados en el experimento, ese no parece ser el problema pues ella aplicaría sin inconvenientes. Dice Thorisson : «Puesto que de otra forma los axiomas de Kolmogorov reflejan propiedades de frecuencias relativas, es difícil tragarse el cuento de que no debieran aplicar. Y así, no sorprende que haya otros intentos por salir de la contradicción» Y culmina con lo siguiente:

Detrás del intento… por crear un modelo hay varias suposiciones implícitas. Una de esas suposiciones es que medir la polarización en una dirección particular no afecta la polarización en las otras direcciones. En otras palabras, no se permite la interacción entre los mundos micro y macro. Permitir una interacción local no es un crimen serio contra las ideas físicas, pero resulta que se necesita una interacción no local para salir de la contradicción. No local quiere decir, por ejemplo, que la configuración experimental de la izquierda afecta la polarización de la partícula medida a la derecha. No es fácil de aceptar, pero para un einsteniano realista esto es más fácil que tener que descartar los axiomas de Kolmogorov, cosa muy cercana a negar que 2+2=4 [p. 31, énfasis en el original, traducción mía].

Un pensamiento en “¿Contradicción probabilística a nivel cuántico?

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