Máximo de las probabilidades de transición

Hace tiempo empecé el estudio del libro Coupling Stationarity and Regeneration de Thorisson (Springer, 2000). Ya he hablado sobre ese libro en entradas anteriores (por ejemplo aquí) y hasta aparece como uno de mis recomendados en la columna a la derecha de este blog. La verdad es que he estudiado diversas partes del libro por aparte según necesidad, pero la idea de estudiarlo completo y en orden me surgió precisamente por lo bien escrito y por lo útiles que resultan en mi área los conceptos que él aplica: resulta que los acoplamientos son de las herramientas más fuertes que puede tener un probabilista a su disposición.

No es posible para mí leer de chorro un texto de matemáticas, como si fuera una novela, y entender claramente sus conceptos. Por ello mi lectura de estos libros es absolutamente lenta, pues mi interés al leer y estudiar así es entender cada detalle expuesto en el libro. A veces paso días enteros intentando entender un solo renglón de una demostración, pero como al fin y al cabo estudio por la sola satisfacción de entender a fondo los temas –y con la esperanza de poder usarlos más adelante en mi propia investigación–, me parece que vale la pena el esfuerzo.

Dicho lo anterior, debo reconocer que soy demasiado psicorígido: no entender una sola línea me impide continuar estudiando, no puedo avanzar mientras no haya logrado entender cada paso. Si además usted suma mis obvias limitaciones intelectuales, entenderá por qué me demoro tanto cuando estudio libros o artículos. Permítame añadir que esta no es la mejor estrategia de estudio en la universidad: llenar todos los huecos en un tema no es útil a la hora de estudiar para un examen en el que usted sabe qué cosas le van a preguntar, qué cosas no le van a preguntar y sabe además que el reloj está corriendo en su contra. Para ser sincero, la verdad tampoco estoy muy seguro de que esta idea sea útil en la vida investigativa, pero al menos me divierte estudiar así… me siento bien conmigo mismo por lo que en mi psicorigidez considero honestidad intelectual.

Precisamente con las pequeñas y elementales demostraciones de ese tipo, me surgió la idea de una nueva categoría de entradas en el blog: demostraciones simples que me demoro en hacer. La idea provino de una afirmación muy sencilla que me demoré tres días en probar y con la cual quiero inaugurar esta etiqueta en el blog. Ciertamente en varias ocasiones no podré proporcionar algunos detalles que debo dar por supuestos, pero por lo menos intentaré generar enlaces a Internet con la información pertinente. Aquí va el problema en mención:

Sea Z una cadena de Markov a tiempo discreto con matriz de transición P, y espacio de estados  E finito, P_{ij}^n es la probabilidad de pasar del estado i al estado j en n pasos. Muestre que \max_{i\in E}P_{ij}^n es no creciente en n y que \min_{i\in E}P_{ij}^n es no decreciente en n.

La solución es demasiado fácil: para todo i,j\in E se tiene que

P_{ij}^{n+1}=\sum_{k\in E}P_{ik}P_{kj}^n

pero como P_{kj}^n\leq\max_{i\in E}P_{ij}^n, tenemos que

P_{ij}^{n+1}\leq\sum_{k\in E}P_{ik}\max_{i\in E}P_{ij}^n

Finalmente, por la definición de matriz de transición, sabemos que \sum_{k\in E}P_{ik}=1, luego obtenemos

P_{ij}^{n+1}\leq\max_{i\in E}P_{ij}^n.

Como lo anterior es válido para todo i,j\in E y como E es finito, entonces se tiene que, en particular,

\max_{i\in E}P_{ij}^{n+1}\leq\max_{i\in E}P_{ij}^n,

lo cual prueba el resultado. La prueba con el mínimo es análoga luego no se presenta acá.

¿Por qué me demoré tanto? Porque ataqué el problema por dos lados y me casé con esas dos ideas, que aunque verdaderas, no me llevaron a ningún lado; por un lado usé:

P_{ij}^{n+1}=\sum_{k\in E}P_{ik}^nP_{kj};

por otro lado, el hecho de que como la suma es sobre términos no negativos, se tiene que

P_{ij}^{n+1}\geq P_{ik}^nP_{kj}, para todo k\in E.

El problema siempre es que la desigualdad anterior estaba en el sentido contrario. Pero como me casé con esa idea no podía ver la respuesta. Tal vez la moraleja, sobre todo con estas demostraciones simples, es que si la prueba no viene rápido a la mente, se deben intentar otros caminos, no casarse con una única forma de hacer las cosas.

Para terminar ahora ando mostrando otro de estos resultados obvios; apenas lo pruebe haré una entrada sobre él en este blog bajo esta misma categoría El resultado es el siguiente:

Dada una variable aleatoria X que toma finitos valores en los enteros, se dice que es fuertemente aperiódica si satisface que existe h\in\mathbb{Z} tal que:

\textbf{P}[X=h]>0 y \gcd\{n\in\mathbb{N}:\textbf{P}[X=n+h]>0\}=1.

Se dice que la variable es aperiódica (así, a secas) si

\gcd\{n\in\mathbb{N}:\textbf{P}[X=n]>0\}=1.

Lo que hay por probar es lo obvio: que la aperiodicidad fuerte implica la aperiodicidad. Son esas cosas obvias en las que casi siempre me demoro… estoy en esas, cuando la resuelva la publico acá.

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