La aperiodicidad fuerte implica la aperiodicidad

He notado una cosa con aquellas demostraciones que no me salen rápido y con los conceptos que no logro entender en el primer intento: una vez los comprendo son más claros para mí que los que sí entendí en el primer momento. Creo yo que esto se debe a que me toca esforzarme por ver más propiedades en definiciones y condiciones a las cuales no atiendo cuando capto con prontitud la utilidad inmediata (la que me permite entender el paso siguiente en la demostración). Eso me recuerda una entrada del blog de Terry Tao (enlace a la derecha) en donde decía que las matemáticas son más que el proceso diáfano y directo (¡!) que se suele ver en los artículos y libros; en realidad artículos y libros, con sus demostraciones organizadas y claras, son el resultado de muchos caminos que no llevaron a nada y tal vez de mucho desorden en el intento por encontrar un orden para el resultado. Pero esa exploración de caminos, por más inútil que termine siendo a la demostración particular, despeja el panorama en cuanto a lo que abarcan los conceptos en cuestión. Ahí veo yo una tremenda utilidad.

Digo esto porque mientras analizaba las propiedades de las suposiciones en la proposición que hoy quiero demostrar, debí analizar múltiples caminos que, aun cuando no sirvieron de nada para la demostración, sí me permitieron entender el concepto de aperiodicidad fuerte, la suposición básica para probar el pequeño resultado en esta entrada. Confieso que no tenía claridad sobre el concepto, de modo que su análisis, incluso por aquellos caminos que no condujeron a nada práctico en la prueba, me sirvió para despejar mis dudas. De todas maneras, acá presento la prueba directa, no los intentos fallidos de demostración.

Finalmente, y antes de entrar en materia, como mi letra es tan ilegible me acostumbre a estudiar escribiendo directamente en LaTeX. Por eso puedo pegar el texto directamente en el blog sin necesidad de volverlo a escribir. Así, pues, he aquí el enunciado y la prueba:

Sea X una variable aleatoria que toma finitos valores en los enteros. Se dice que X es fuertemente aperiódica si existe h con las siguientes dos propiedades

\textbf{P}(X=h)>0

\gcd\{n\in\mathbb{Z}:\textbf{P}(X=n+h)>0\}=1,

donde \gcd es notación de máximo común divisor. Además, se dice que X es aperiódica si

\gcd\{n:\mathbb{Z}:\textbf{P}(X=n)>0\}=1.

Pruebe que la aperidicidad fuerte implica la aperiodicidad.

Sea A=\{n\in\mathbb{Z}:\textbf{P}(X=n+h)>0\} y B=\{n:\mathbb{Z}:\textbf{P}(X=n)>0\}. Es claro que n\in A\Leftrightarrow n+h\in B. Con esto en mente, partamos el problema en casos:

Como \textbf{P}(X=h)>0, se tiene que 0\in A, pero A\neq \{0\} pues en ese caso A no tendría máximo común divisor, luego A\neq\emptyset y tiene más de un elemento.

Supóngase que, sin pérdida de generalidad, todos los elementos de A son no negativos. Tome el mínimo elemento positivo de A  y llámelo m. Asumiendo, otra vez sin pérdida de generalidad, que h>0 entonces \min B=h pues h<m+h (si h es negativo el argumento se vuelve más engorroso, no más complicado), luego \gcd B=h', donde h' es un entero tal que 1\leq h'\leq h (además h sería divisible por h').

Pero h' debe ser igual a 1 pues si no lo fuera, para todo n\in A, se tendría que n+h, que está en B, es divisible por h', luego n sería divisible por h' y \gcd A\geq h', una contradicción.

Adición del 26 de octubre:

¿Cómo explicar en palabras la diferencia entre aperiodicidad fuerte y aperiodicidad a secas?

Un pensamiento en “La aperiodicidad fuerte implica la aperiodicidad

  1. Edité esta entrada en la parte de la demostración porque me di cuenta que muchos de los pasos no eran necesarios. Ahora es más directa y la prueba se hace más clara.

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