La diferencia de dos variables aleatorias iid fuertemente aperiódicas es aperiódica

El objetivo de esta entrada es probar exactamente lo que aparece en el título. De hecho, es en ese caso donde puede verse la importancia de la aperiodicidad fuerte. Aunque no me demoré tanto como otras veces para entender el resultado (poco menos de una hora, lo cual es todo un record), me pareció que es muy elegante el argumento y por esas dos razones lo presento aquí bajo la misma etiqueta de «simples pero demoradas». Vale la pena añadir que todos los argumentos siguen siendo tomados del libro Coupling, Stationarity and Regeneration (Springer, 2000)

Vamos a repasar primero las definiciones de aperiodicidad y aperiodicidad fuerte que se dieron en la entrada anterior.

Sea X una variable aleatoria que toma finitos valores en los enteros. Se dice que X es fuertemente aperiódica si existe h con las siguientes dos propiedades

\textbf{P}(X=h)>0

\gcd\{n\in\mathbb{Z}:\textbf{P}(X=n+h)>0\}=1,

donde \gcd es notación de máximo común divisor. Además, se dice que X es aperiódica si

\gcd\{n:\mathbb{Z}:\textbf{P}(X=n)>0\}=1.

En aquella entrada se vio que la aperiodicidad fuerte implica la aperiodicidad a secas pero lo contrario no siempre es cierto: para verlo considere una v.a. Y que toma valores solo en -1 y 1. Defina ahora Y' independiente de Y aunque con igual distribución, se tiene entonces que la variable aleatoria Y-Y' no es nisiquiera aperiódica. En los dos casos anteriores el lector puede hacer la prueba por sí mismo (siempre había querido decir eso :-P). Esa es la razón por la cual se necesita la aperiodicidad fuerte pues la diferencia de dos v.a. iid fuertemente aperiódicas sí es aperiódica. Y ese es precisamente el resultado que se buscará probar aquí:

Note primero que los conjuntos \{n\in\mathbb{Z}:\textbf{P}(X=n+h)>0\} y \{n\in\mathbb{Z}:\textbf{P}(X-h=n)>0\} son idénticos, luego se tiene directamente de las dos definiciones anteriores que si X es aperiódica, fuerte, X-h es aperiódica:

\gcd\{n\in\mathbb{Z}:\textbf{P}(X-h=n)>0\}=1.

Como X-h es aperiódica, existe una constante c tal que X-h es aperiódica en \{X-h\leq c\}. Es decir, se puede tomar un c lo suficientemente grande para que

\gcd\{n\in\mathbb{Z}:\textbf{P}(X-h=n,\vert X-h\vert\leq c)>0\}=1    (1)

Sea X' una variable independiente de X pero con la misma distribución. La prueba de que la diferencia es aperiódica tiene tres pasos:

\textbf{P}(X-X'=n)

\geq\textbf{P}(X-X'=n,\vert X-X'\vert\leq c)

\geq\textbf{P}(X-h=n,\vert X-h\vert\leq c,X'=h)

=\textbf{P}(X-h=n,\vert X-h\vert\leq c)\textbf{P}(X'=h).

Por definición de aperiodicidad fuerte, \textbf{P}(X'=h)>0. Con eso en mente y por  (1) se tiene que X-X' es aperiódica.

Ese fue el punto en el que me quedé parado la hora. Al fin y al cabo, dada la definición de aperiodicidad, yo buscaba una prueba que usara más explícitamente las propiedades del máximo común divisor de un conjunto. Pero la cosa era más sencilla y mucho más elegante: por  la última igualdad si \textbf{P}(X'=h)>0 entonces \textbf{P}(X-X'=n)>0 cuando \textbf{P}(X-h=n,\vert X-h\vert\leq c)>0. Es decir, el conjunto \{n\in\mathbb{Z}:\textbf{P}(X-h=n,\vert X-h\vert\leq c)>0\} está contenido en \{n\in\mathbb{Z}:\textbf{P}(X-X'=n)>0\}. Pero por (1) sabemos que el primer conjunto tiene máximo común divisor 1, luego el segundo también tiene máximo común divisor 1 porque contiene al primero. Eso prueba muy elegantemente el resultado.

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