Introducción al matrimonio estable de Poisson y Lebesgue con apetitos aleatorios

Figura 1

Figura 1

Como hace días no escribo nada por estar tan concentrado en mi tesis, decidí hacer una entrada con la introducción formal al tema. Aquí va.

En un post anterior introduje en términos simples el matrimonio de Poisson y Lebesgue con apetitos aleatorios. Ahora voy a intentar hacer una definición más formal, con base en la descripción dada por los autores originales del modelo. No hay desarrollos nuevos aquí, solo una generalización simple. Tal vez en entradas siguientes introduzca algunos aspectos originales de mi investigación. Por ahora quiero es introducir el objeto de estudio.

Aquí y aquí se consideró el siguiente modelo, la única diferencia acorde con nuestros intereses radica en la aleatorización del parámetro llamado apetito,  que en el modelo original era constante.

Para preservar la notación original, sea \Xi  un conjunto discreto de puntos en \mathbb{R}^d con d\geq1. Los elementos \xi\in\Xi se llaman centros y los elementos x\in\mathbb{R}^d se llaman sitios. El apetito aleatorio es una variable aleatoria (v.a.) no negativa \alpha con ley F, independiente de los centros.  Tómese ahora una sucesión de v.a. i.i.d. no negativas. \left\{\alpha_i\right\} distribuidas como \alpha.

La función \psi:\mathbb{R}^d\rightarrow\Xi\cup\left\{\infty,\Delta\right\} se llamará asignación, donde \psi^{-1}(\Delta) es el conjunto de sitios equidistantes de dos centros diferentes, de modo que \mathcal{L}[\psi^{-1}(\Delta)]=0 porque \Xi es un conjunto discreto . \psi tendrá la propiedad que \mathcal{L}[\psi^{-1}(\xi)]\leq\alpha_{\xi}, para todo \xi\in\Xi donde \alpha_\xi es el apetito del centro \xi y \mathcal{L}(\cdot) es la medida de Lebesgue (volumen) de un conjunto de puntos en \mathbb{R}^d. El territorio de un centro \xi es el conjunto de sitios dados por \psi^{-1}(\xi). Diremos que el centro está satisfecho si \mathcal L[\psi^{-1}(\xi)]=\alpha_\xi e insatisfecho si la medida de Lebesgue del territorio  \xi es estrictamente menor que \alpha_\xi. Diremos que un sitio x es reclamado si \psi(x)\in\Xi, y no reclamado si \psi(x)=\infty lo cual quiere decir que el sitio x no fue reclamado por centro alguno. Adicionalmente, llamaremos \mathcal{C} a la clausura de los sitios reclamados, tal como fue hecho aquí.

Ahora, sea \xi un centro y sea x un sitio con \psi(x)\notin\left\{\xi,\Delta\right\}. Decimos que x desea a \xi cuando \left|x-\xi\right|<\left|x-\psi(x)\right| o cuando x es no reclamado, donde \left|\cdot\right| es la norma euclideana. Y decimos que \xi codicia a x cuando \left|x-\xi\right|<\left|x'-\xi\right| para algún x'\in\psi^{-1}(\xi) o cuando \xi no está satisfecho. Llamaremos a la pareja (x,\xi)  inestable para la asignación \psi si x desea a \xi y además \xi codicia a x. La asignación será estable si no hay parejas inestables.

Las Figuras 1 y 2 en esta entrada muestran el caso de un conjunto de puntos en un subconjunto finito de \mathbb R^2. Para el mismo conjunto de centros se tienen dos apetitos (constante para cada una de las figuras) donde el segundo es mayor que el primero. Las figuras son cortesía de Marcelo Freire… las mías para apetitos aleatorios, no las he hecho:-/

Figura 2

Figura 2

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