Idealizaciones en el infinito

Esta entrada no tiene nada que ver con hipótesis del continuo ni nada de esas cosas. Tan apasionante como pueda resultar su estudio, no es el tema que me interesa tocar en este momento. El objetivo es más mundano, más terreno: un intento de responder a una pregunta que me han hecho varias veces: ¿Cuál es la idea de trabajar con sistemas infinitos de objetos matemáticos? Objetos matemáticos aquí no tiene un significado claro, pueden ser dimensiones, funciones o cualquier otro concepto matemático o al menos matematizable.

La pregunta parece natural. De hecho, en la estadística son muy conocidos los métodos que permiten la reducción en las dimensiones de la información para hacer más manejable su estudio; tal es el caso del análisis de componentes principales. Así las cosas, ¿cuál es la intención de los matemáticos cuando quieren trabajar con sistemas infinitos?

Pues la primera respuesta es el interés puramente teórico. Tomemos el ejemplo de la cantidad de dimensiones. Suponga que usted sabe que cierto modelo, teorema o resultado en movimiento de partículas, por decir algún área, se cumple en dimensiones 1 y 2. La pregunta sobre cómo extender el resultado al caso de dimensiones mayores es absolutamente natural. Como dice Grimmett en su conocido libro Percolation (una de las frases que aparecen a la derecha de este blog): «Los matemáticos tienen considerable talento en el arte de la generalización». Las aplicaciones quizás vengan después, pero realmente esa no tiende a ser una preocupación del teórico. Mi orientador me dijo alguna vez de manera muy graciosa que el matemático que investiga pensando en las aplicaciones es como quien se pone a pensar en la sobrepoblación mundial durante su noche de bodas.

La segunda razón la voy a trascribir de unas notas excelentes de Hans-Otto Georgii et al sobre mecánica estadística tituladas The random geometry of equilibrium phases (p. 11):

As all systems in nature are finite, one may wonder why we consider here systems with infinitely many constituents. The answer is that sharp results for bulk quantities can only be obtained when we make the idealization to an infinite system. The thermodynamic limit eliminates finite size effects (which are always present but which are not always relevant for certain phenomena) and it is only in the thermodynamic limit of inifinite volume that we can get a clean and precise picture of realistic phenomena such as phase transitions or phase coexistence. This is a consequence of the general probabilistic principle of large numbers. In this sense, infinite systems serve as an idealized approximation to very large finite systems.

Aunque Georgii hace alusión al límite termodinámico, pues está hablando de mecánica estadística, la idea se puede extrapolar en general a toda la matemática: Cuando los sistemas finitos son muy grandes, es mejor tratarlos como si fueran infinitos porque las respuestas van a ser muy aproximadas a la realidad y mucho más fáciles de obtener (por los teoremas límite en el caso de la probabilidad) que estudiar cada uno de los elementos en el sistema finito. Precisamente cuando se está trabajando con sistemas finitos grandes hay dos situaciones: Primero, puede ser que los recursos computacionales sean insuficientes para la labor (créalo o no, la computación sigue bastante colgada para algunas aplicaciones interesantes, tema sobre el cual podría escribir una entrada posterior). Pero aun si no son insuficientes, las aproximaciones por teorema central del límite y por las leyes de los grandes números —en el caso de la probabilidad— son tan exactas que mal vale la pena el esfuerzo y el gasto de evaluar cada elemento del sistema por separado.

En resumen y para terminar, encuentro dos razones principales: la primera, absolutamente válida para el matemático, es el interés natural en generalizar los resultados o encontrar propiedades en «el inifinito»; tal es el caso de las dimensiones (vea por ejemplo tres artículos de Matthew Penrose aquí, aquí y aquí, todos relacionados con «grandes dimensiones»). Y la segunda razón, de interés para la ciencia, es porque tales resultados suelen ser excelentes aproximaciones de los grandes sistemas finitos en estudio, como en la mecánica estadística que tan bien explica Georgii.

Un pensamiento en “Idealizaciones en el infinito

  1. Añadí los dos párrafos finales por sugierencia de mi hermano, quien consideró que la entrada parecía incompleta.

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