Variables aleatorias uniformes en bolas abiertas en el infinito

El siguiente es el Lema 3 en un viejo artículo de Mathew Penrose que estoy estudiando.

Suponga que \textbf X(d) y \textbf Y(d) son variables aleatorias independientes y uniformemente distribuidas en la bola B(0,1) en d dimensiones. Entonces

1.

\lim_{d\rightarrow\infty}\textbf P[|\textbf X(d)|>3/4]=1

2.

\lim_{d\rightarrow\infty}(\sup {\textbf P[|\textbf X(d)-x|\leq1]:x\in\mathbb R^d,|x|\geq 3/4})=0

3.

\lim_{d\rightarrow\infty}\textbf P[|\textbf X(d)-\textbf Y(d)|\leq1]=0.

Prueba:

El número 1 es trivial, pero demostrémoslo aquí en aras de hacer el ejercicio completo:

\textbf P[|\textbf X(d)|>3/4]=1-\textbf P[|\textbf X(d)|\leq3/4]

=1-\frac{\pi_d(3/4)^d}{\pi_d}

=1-(3/4)^d

que tiende a 1 cuando d\rightarrow\infty . Aquí \pi_d es el volumen de la bola de radio 1 en d dimensiones.

Para demostrar el número 2, nótese que

|\textbf X(d)-x|^2=|x|^2+|\textbf X(d)|^2-2|\textbf X(d)\cdot x| .

Por la parte 1, es suficiente probar que |\textbf X(d)\cdot x| converge a 0 en probabilidad y uniformemente en \{x:3/4\leq |x|\leq 2\}. Escríbase \textbf X(d) en coordenadas, como (X^1(d), X^2(d),\ldots,X^d(d)) y x=\{x^1,\ldots,x^d\}. Por simetría (la bola unitaria es igual en todas las direcciones), puede suponerse que x es colineal a e_1=\{1,0,\ldots,0\}, luego \textbf X(d)\cdot x tiene la misma distribución que X^1(d)x^1 y por lo tanto también la misma distribución que |x|X^1(d). De nuevo, por simetría, las componentes de \textbf X(d) tienen todas la misma distribución (así no sean independientes unas de otras); así que, usando el hecho de que la suma de los cuadrados de las componentes es 1, obtenemos que \textbf E[|X^1(d)|^2]\leq 1/d , de modo que X^1(d) converge a 0 en L^2  y, por lo tanto, también en probabilidad.

El número 3 es consecuencia directa del número 1 y el número 2.

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