Aleatoriedad en matemáticas

Este es un escrito sobre matemáticas sin una sola ecuación. Se siente raro. Es una idea sencilla que me viene dando vueltas ya hace tiempos y hoy mientras estudiaba volvió a mi cabeza:

No hay nada en la teoría formal (es decir, la teoría de integración o teoría de la medida) que trate la aleatoriedad como una entidad abstracta separada de otras. Menos aún en tratamientos menos rigurosos como los de los primeros cursos de pregrado en probabilidad.

Formalmente, una variable aleatoria es tan solo una función medible, la probabilidad es solo una medida finita, la esperanza de una variable aleatoria (finita o no) es la medida de una función medible (en un espacio que se llama L1) y la varianza “es” la medida del cuadrado de una función medible (que vive en un espacio llamado L2).

La aleatoriedad que le asociamos no está en la matemática, sino en nuestra imaginación. La situación es tan clara que prácticamente todos los nombres de conceptos importantes en probabilidad, tienen un transfondo físico. Ejemplos: medida, momento, centro de masa, densidad, ley, equilibrio, etcétera).

No quiero decir con esto que la aleatoriedad no exista (y menos que el azar no exista). Esa es harina de otro costal. Lo que quiero decir es que a la matemática le da la misma si lo que se mide es azar, volumen, distancia, riqueza o lo que se nos ocurra. La presencia o ausencia de estocasticidad en la teoría está en nuestra mente, no en la matemática. Y eso sí me parece muy interesante.

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LaTeX en gmail y en chat de gmail

Gracias a mi amigo Juan Pablo Sáenz, supe de este post en el que mencionan un par de plug-ins para gmail que hacen mucho más agradable la vida de quienes solemos enviar ecuaciones en los correos electrónicos o quisiéramos añadirlas en el chat de gmail.

El primero y más fácil de usar es un script de Greasemonkey para Firefox llamado TexTheWorld. Tiene la ventaja de que funciona fácil tanto en el correo como en el chat. Otra gran ventaja es que aun si la contraparte no tiene el plug-in instalado, ella puede ver el texto compilado en \LaTeX mientras tenga HTML en el cliente del correo.

El segundo se llama GmailTex. Y debo decir que me pareció engorrosísimo ponerlo a funcionar porque, aparte del plug-in, pide instalar las fuentes usando un motor que se llama MathJax, al que después de instalado se le debe corregir una cosa por dentro para que compile el texto de \LaTeX. GmailTex tiene además un subscript para el chat de gmail y  otro subscript para páginas que contegan código \LaTeX mas no lo compilen (como arXiv)… pero yo no logré poner a andar ninguno de esos dos subscripts. En fin, dada la incomodidad y la dificultad de la instalación, la única ventaja que tiene este plug-in sobre el primero es que funciona para otros browsers diferentes a Firefox (aunque aún no para Safari, tristemente).

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Esta entrada me hace entender cómo se han de sentir los profesores y padres cuando nos cuentan a las nuevas generaciones (me di por quinceañero yo) que a ellos les tocaba programar en tarjetas perforadas. En poco tiempo diré a mis estudiantes: «Por allá cuando yo hice mi doctorado, no se podía añadir ecuaciones de \LaTeX en el chat ni en los correos». Entonces mis estudiantes me devolverán una mirada perpleja y el más atrevido me dirá: «¿O sea que aparte de entender la matemática en un correo a usted le tocaba decifrar todo ese código fuente de \LaTeX? ¡Uy, profe, qué mamera!».

Enseñar cálculo con base en probabilidad y otras cositas

Ricardo Pachón, un viejo amigo y colega, me mandó este enlace de los famosos videos TED para que lo comentara (si no conoce la página, lo invito a que aproveche el enlace y vea varios de sus videos que suelen ser muy buenos). En este en particular, Arthur Benjamin, conocido por sus habilidades matemágicas, propone una forma diferente de enseñar cálculo: hacerlo con base en los cursos de probabilidad y estadística. Benjamin se deshace en elogios con estas dos áreas y propone que, por su utilidad y lo divertido que resulta enseñarlas, sería correcto enseñar cálculo con base en ellas.

A mí realmente me parece una buena idea. Aporta una solución al problema de la enseñanza del cálculo y la verdad, más importante que los métodos es el concepto. Lo importante , considero yo, es desarrollar conceptos que den  estructura mental. Igual, sean o no matemáticos, difícilmente los estudiantes se van a encontrar en su vida con una integral por partes que después deba solucionarse con identidades trigonométricas y después con sustitución. Insisto, lo importante es el concepto y después de explicarlo, sus aplicaciones en probabilidad y estadística harán más sencillo entender su uso.

Ahora, note la diferencia entre la postura de Benjamin y la columna de Klaus Ziegler la semana pasada en El Espectador: Ziegler, palabras más palabras menos, se considera de una élite intelectualmente privilegiada que consiguió entender bien el cálculo cuando lo vio en la universidad (no lo dice pero a toda hora parece darlo a entender en su columna). Su única sugerencia es usar recursos computacionales para explicar ciertas cosas (cosa buena pero no suficiente) y dejar los «aspectos más abstractos y complejos [para] ofrecerse solo en cursos exclusivos destinados específicamente a los estudiantes más talentosos». ¡Hagáme el favor la exclusión!

Respecto a eso, me gustaría recordarle al lector una antigua entrada que escribí en este mismo blog llamada Más nalga que cerebro. Por mi experiencia, pero sobre todo por estudios realizados (como este y este), sé que lo importante no es la genialidad sino la dedicación. Es más, el mismísimo Terry Tao, con toda su innegable genialidad, así lo sostiene (véanse esta, esta, esta y esta entradas de su blog, por ejemplo). Tao no es solo su genialidad, de hecho él es grande por su disciplina. Es impresionante seguir su blog y ver que, con sus colaboradores, publica a veces más de un artículo por semana. El solo hecho de sentarse a escribir esos papers muestra el talante de su dedicación (yo llevo casi dos meses intentando completar dos artículos de mi tesis y no he terminado ni siquiera el primero). Citaba en esa entrada también los casos de Newton y Einstein, quienes se hicieron grandes no por su genialidad sino por su dedicación. No es cuestión de talento, es cuestión de disciplina, señor Ziegler, debiera ser menos soberbio.

Por último, volviendo a las habilidades matemágicas de Benjamin, quisiera anotar que los colombianos tenemos a un matemático mucho más rápido que él, Jaime García, quien es reconocido como el calculista más rápido del mundo y tiene varios records Guinness. Hace poco tiempo, cuando García volvió a aparecer en los periódicos del país, se desató alguna controversia maluca entre varios de mis contactos de facebook. Estaban ellos ofendidos porque se le llamara matemático por hacer cálculos mentales. Consideraban que no lo era puesto que no desarrollaba matemáticas nuevas. Lo segundo es eminentemente falso: él desarrolla efectivísimos algoritmos (¡crea matemáticas!) que le ayudan a almacenar datos en su mente más rápido que una computadora. Pero aun si no lo fuera, ¿está la matemática restringida a la investigación? La respuesta, claro, es un rotundísimo NO. ¡Gran matemático es García! Ya quisiera yo tener sus habilidades.

Inscripciones al posgrado en probabilidad y estadística del IME-USP

A continuación publico el siguiente correo (en portugués) que envió internamente el profesor Fabio Machado, probabilista del IME y coordinador del posgrado en estadística del Instituto:

Caríssimos(as),

Estão abertas as inscrições para o Mestrado e Doutorado em Estatística e Probabilidade no Instituto de Matemática e Estatística da USP na cidade de São Paulo. Este programa de pós-graduação está avaliado com nota máxima (nota 7) pela CAPES, fazendo parte do sistema de financiamento do CAPES-PROEX.

No momento estamos em condições de aceitar 12 alunos de doutorado e 25 alunos de mestrado, para os quais ofereceremos pelo menos 20 bolsas de estudos.

Candidatos ao mestrado devem inscrever-se ate 15 de setembro, enquanto que candidatos para o doutorado devem fazer suas inscrições ate 15 de novembro de 2009.

As decisões sobre aceitação/bolsa para o doutorado são tomadas já no mes de dezembro de 2009. As de mestrado serão em função do exame de admissão aplicado no inicio do mes de fevereiro de 2010.

Em 2009 foram defendidas 29 dissertações de mestrado e 21 teses de doutorado. A lista encontra-se no link apresentado abaixo.

Garantimos uma estrutura curricular ampla, com disciplinas de teoria de Probabilidade e Estatística e um conjunto de disciplinas específicas (teóricas e aplicadas) que abrangem áreas relacionadas as linhas de pesquisa desenvolvidas pelo corpo de pesquisadores do departamento. São oferecidas cerca de 12 disciplinas por semestre além de 2 disciplinas no Programa de Verão. Parte fundamental na preparação para os novos desafios, nossa pós-graduação conta com uma programação intensa de conferências e seminários organizados pelos grupos de pesquisa do Departamento de Estatística.

As agências de financiamento à pesquisa —Fapesp, Capes e CNPq— normalmente cobrem a demanda de bolsas por estudantes com ótimo desempenho que ingressam a cada ano. É crescente o número de estudantes de pós-graduação que fazem estágio em excelentes universidades do exterior.

Mais informações podem ser obtidas no endereço

http://www.ime.usp.br/posgraduacao.php/

Atenciosamente

Prof. Dr. Fábio Machado
Coordenador do programa de pós-graduação em Estatística
Departamento de Estatística – USP

Muy interesante. Muchas becas (bolsas) para un programa de excelente calidad.

Las conferencias de Richard Feynman

He estado ocupadísimo con el final de mi doctorado: sustento mi tesis el próximo jueves. Seguro después de ese momento será más fácil escribir entradas con mayor regularidad y frecuencia. Pero por ahora me gustaría dejar aquí el enlace a las conferencias de Richard Feynman (foto). Son tan buenas que Bill Gates compró los derechos y las tiene disponibles en Internet para quien quiera verlas aquí. Disfrútenlas porque de verdad valen mucho la pena. Es más, recomiendo también la lectura de sus libros, realmente es excelente.

Más nalga que cerebro

Cuando ya estoy cerca de terminar mi doctorado, inconforme con mis propios resultados, descubrí algo que dudo mucho le guste al gremio en general: las buenas matemáticas no las hacen los más inteligentes sino los más disciplinados. En este punto, apenas el inicio de mi carrera científica, puedo decir que en el desarrollo del doctorado vi gente más inteligente que yo con peores resultados porque les faltó disciplina y gente menos inteligente que yo con mejores resultados porque fueron más disciplinados.

La primera vez que oí semejante desfachatez (así me pareció en su momento) fue al final de mi pregrado en boca del profesor Leonardo Rendón, durante mi curso de Teoría de la Medida, él lo resumía muy coloquialmente de la siguiente manera: «las matemáticas son noventa por ciento nalga y diez por ciento cerebro».

El problema para el orgullo del matemático radica en lo siguiente (hablaré en primera persona para no herir susceptibilidades): si mi resultado no depende tanto de mi inteligencia sino de mi disciplina, tal vez por otro camino, cualquier persona, incluso con capacidades intelectuales inferiores a las mías,  hubiera podido llegar ahí. De cierta forma esta perspectiva antiegolátrica anula (¿?) el genio personal, eso es lo que duele tanto. Aunque, claro, por otro lado exalta el logro y la dedicación de la persona.

Muchos años después la idea del profesor Rendón recibió un soporte de mucha autoridad cuando leí enfáticos comentarios de Terry Tao en su blog (aquí, aquí, aquí y aquí, por ejemplo) en los que exaltaba el trabajo duro y restaba casi toda importancia a la inteligencia superior.  Como Tao es probablemente el mejor matemático del mundo y para todos los estándares es un genio, algunos pueden pensar que lo dice por modestia. Pienso que no. Él es más que repetitivo en muchas de sus entradas al respecto y cita buenos artículos de estudios adicionales (como este y este). El primer artículo muestra la importancia de motivar a las personas por su trabajo duro y no por su inteligencia (lo primero estimula y lo segundo desestimula ante un problema difícil) y el segundo muestra que para producir alguna cosa realmente valiosa en cualquier área hay que dedicarle al asunto por lo menos unos diez años de trabajo dedicado.

Mi conclusión es que cualquier persona con una inteligencia normal, y quizás hasta con problemas de inteligencia, puede llegar a ser muy grande. La mayoría hemos oído la historia real de Isaac Newton: la mamá no lo quería dejar entrar a la universidad porque a las claras se veía que el muchachito carecía de talento. La mayoría sabemos lo que Newton después llegó a ser para la ciencia, contradiciendo de cierta manera a su madre. Lo que pocos saben es que Newton prácticamente se aisló por mucho tiempo, dedicado a entender mejor los asuntos que estudiaba, después de que durante mucho tiempo se había concentrado en aprender las cosas básicas. Esa es la parte que no se cuenta (Leí esa información hace poco en una biografía de Newton cuyo nombre no recuerdo).

Idéntica situación ocurrió con Albert Einstein, quien, como casi todos saben, trabajaba en una oficina de patentes. Lo que pocos saben es la razón por la que trabajó ahí: NO tenía beca durante su doctorado porque estaba muy lejos de figurar entre los mejores estudiantes. Durante dos años buscó un trabajo como profesor que nunca llegó. Fue durante su trabajo en la oficina de patentes que, con mucha disciplina, Einstein publicó sus famosísimos tres papers. Estaba lejos de ser brillante; inclusive cuando uno de sus profesores vio los artículos dijo que no podía creer que Einstein hubiera producido algo de semejante calidad.

A los matemáticos nos gusta pensar de nosotros en términos de la visión general en que se nos tiene:  supuestamente somos las personas más inteligentes. Tal vez por eso pueda doler tanto aceptar el hecho de que es más importante la disciplina. Lo cierto es que, en cuanto a mí, conozco mucha gente más inteligente que yo tanto afuera de mi pequeño espacio de probabilidad como adentro de él. Pero en ningún caso, tanto adentro como afuera, en matemáticas y en las otras profesiones, he visto que alguien llegue a la cima y se mantenga sin esfuerzo.

«El que ama la disciplina, ama el conocimiento» decía el rey Salomón. Después de todo este tiempo descubrí que Rendón, Tao, Salomón y hasta mi abuelita tenían razón… decía la viejita: la constancia vence lo que la dicha no alcanza ;).

Polymath: El experimento de Tim Gowers

[ACTUALIZACIÓN 31-03/2009: Jason Dyer publicó un muy buen post en The Number Warrior donde explica en términos muy aterrizados el proyecto general, vale la pena leer su explicación].

Hace unas pocas semanas Tim Gowers, uno de los matemáticos más conocidos del mundo, publicó en su blog una entrada llamada Is massively collaborative mathematics possible? La entrada resultó en un experimento llamado Polymath que, a mi modo de ver, podría revolucionar la forma en que se hacen desarrollos teóricos de colaboración múltiple en las ciencias.

Gowers buscaba un proyecto de colaboración masiva en el cual muchas personas aportaran de a pocos para obtener el resultado final. Para ello eligió como primer intento un enfoque combinatorio —el área fuerte de Gowers— al teorema de la densidad Hales-Jewett para un alfabeto de tres letras; la demostración que ya existía usaba la teoría ergódica.

En algunos sentidos el proyecto resultó ser un éxito rotundo, en parte, supongo yo, porque en él participaban Terry Tao y el mismo Gowers, dos ganadores de la medalla Fields y por ello capaces de interesar a otras personas con su sola presencia en el proyecto. Uno de los muy positivos resultados fue que, en palabras de Gowers, la solución que se dio trascendió en mucho lo que él esperaba. Otro de los resultados, realmente impresionante, fue la velocidad con que se consiguió el objetivo: tres semanas. La vertiginosidad con la que crecían los comentarios en el blog de Gowers llegó incluso a hacer necesario que en  algún punto Tao prestara su blog a la causa. De haberse llevado a cabo el proyecto de la forma usual, aun con varios colaboradores, el proyecto habría tardado más de tres meses.

Dentro de las debilidades que cita Gowers está que finalmente el proyecto no resultó tan masivo como se esperaba. Aparentemente la razón para ello fue el alto grado de especialización del problema, que utilizó conceptos complejos como el teorema de Szemerédi… o al menos eso dijeron varios comentaristas en el blog de Gowers cuando él preguntó el porqué de esa situación.

Yo, vicioso como soy de la red, seducido por todo lo que envuelve el Internet 2.0, estoy encantado con la idea y hasta hubiera intentado participar activamente del proyecto si no estuviera en el final inminente de mi tesis. Se me ocurre que un orientador que haya tenido al menos unos cinco pupilos, si tiene la disposición y el tiempo, puede fácilmente jalonarlos a trabajar con él en este tipo de proyectos que resultarían beneficiosos para todos: más papers de alta calidad publicados a mayor velocidad y desarrollados por personas que tienen niveles de profundidad semejantes en áreas también semejantes. Me resulta encantadora la idea. Ahora, si la preocupación es que alguien pueda robar la idea a mitad de camino, existe la posibilidad en los blogs de tenerlos cerrados al público y abiertos solo para las personas invitadas. En mi caso particular, yo sería feliz con un proyecto de ese tipo: ahora que estoy terminando mi doctorado realmente siento temor de lo que será mi vida de investigación sin mi orientador al lado e ideas como esta me hacen sentir un poco mejor en ese aspecto.

Tengo la seguridad de que la idea se va a expandir y se van a ver buenos frutos. No sé si alguna vez alcance el carácter tan masivo que pretende Gowers pero es una muy buena manera de desarrollar matemáticas macro con constantes participaciones a nivel micro… visto así hasta parece un típico problema probabilístico de percolación o movimiento de partículas.